SOUTENANCE DE THESE
4/12/2014
ZHENG Yuling 4/12/14 SUPELEC L2S à 10h30

SUJET : Algorithmes bayésiens variationnels accélérés et applications aux problèmes inverses de grande taille.

Sous la direction de M : Thomas RODET
Son directeur de recherches.
SOUTENANCE DE THESE AYANT POUR JURY :
(indiquer les noms par ordre alphabétique)
• FRAYSSE Aurélia
• FERRARI André
• IDIER Jérôme
• PESQUET Jean-Christophe
• RODET Thomas

 

RESUME

L'objectif de ma thèse est de développer et d'appliquer des méthodes de reconstruction dans le cadre de problèmes inverses mal-posés. Pour cela, je me suis intéressée aux méthodes bayésiennes qui permettent d'estimer conjointement les paramètres de la méthode avec les objets d'intérêt.

Dans le cadre bayésien, la loi a posteriori, nécessaire pour construire des estimateurs efficaces, est en général complexe et ne peut être utilisée directement. Une manière classique de contourner ce problème est d'utiliser l'approche bayésienne variationnelle (BV) dont le principe est de faire une approximation analytique de cette loi a posteriori par des densités approchantes séparables. Néanmoins, l'approche BV classique souffre d'un taux de convergence faible et s'avère peu pratique pour traiter les données de grandes tailles. Le but de ma thèse est donc de trouver de nouveaux algorithmes BV accélérés. L'idée est de transposer des algorithmes d'optimisation dans le cadre fonctionnel qui est utilisé dans le BV.
Le premier apport de ma thèse est l'amélioration de la vitesse de convergence de l'algorithme bayésien variationnel grâce à une autre méthode d'optimisation, la méthode des sous-espaces. Deux nouveaux algorithmes ont ainsi été développés. Ces algorithmes ont été appliqués avec un a priori de parcimonie et les simulations ont montré que les algorithmes proposés marchent mieux que les méthodes classiques.
Depuis, je me suis concentrée sur les problèmes inverses mal-posés en traitement d'image. La variation totale est largement utilisée en traitement d'image, du fait de sa capacité à préserver les contours tout en réduisant le bruit. J'ai donc appliqué mes approches en utilisant un a priori de variation totale. Les simulations sur un problème de super-résolution montrent encore que nos approches convergent plus vite que les méthodes classiques.
Cependant un a priori de variation totale n'a pas de fonction de partition explicite. Pour s'affranchir de cette difficulté, une approximation incorrecte de la fonction de partition a été utilisée. Pour contourner ce problème, j'ai donc défini et étudié un autre a priori dont la fonction de partition est correctement approchée. En utilisant cet a priori, j'ai obtenu des résultats tout aussi rapides et robustes. Ensuite, pour avoir une application plus étendue, j'ai introduit des lois a priori de parcimonie – Student et gaussienne généralisée dans le domaine des ondelettes. Dans ce cas, je démontre que les approches utilisant ces a priori sont bien adaptées aux images naturelles et aussi efficaces que les méthodes classiques type LASSO.

 

 

ABSTRACT

The main objectif of this thesis is to develop reconstruction methods for ill-posed inverse problems. To do this, we consider unsupervised Bayesian approaches for estimating jointly parameters of the method and the unknown object. In the Bayesian framework, the posterior distribution, which is needed to construct efficient estimators, is generally complex and can not be used directly. A classic method for tackling this problem is to employ the variational Bayesian approximation (VBA) method whose principle is to approximate the true posterior by a separable distribution. However, the classical VBA suffers from a slow convergence and is not efficient enough for large dimensional problems. The aim of my thesis is therefore to find new accelerated VBA algorithms. The idea is to transpose optimization algorithms into the functional space involved in VBA.
The first contribution of my thesis is to improve the speed of convergence of the variational Bayesian method thanks to another optimization method, the subspace optimization one. Two new VBA algorithms have then been developed. These algorithms have been applied with a sparse prior and simulations have shown that the proposed algorithms are much faster than classical methods.
Since then, I have focused on ill-posed inverse problems in image processing. The total variation is widely used in image processing due to its ability to preserve edges while reducing noise. As a result, I have applied my proposed algorithms using a total variation based prior. Simulations on a super-resolution problem still show that my proposed approaches converge faster than classical methods.
However, a total variation based prior does not have an explicit partition function. To tackle this problem, an incorrect approximation of the partition function was used. To get around this problem, I have defined and studied another prior whose partition function is properly approached. Using this prior, I have obtained algorithms as fast and as robust. Then, to have more extensive applications, I have introduced sparse priors -- Student and generalized Gaussian in the wavelet domain. In this case, I demonstrate that approaches using these priors are well suited to natural images and as effective as classical methods like LASSO.